theorie de polynomes de ehrhart
Faculte Des Sciences - Mathématiques et Informatiques - None ()
Resume
quasi-polynômes dehrhart associés à des polytopes non paramétrés de dimension fixée, les racines des polynômes dehrart pour une dimension fixée : 4< d < 100, pour 9< m< 173. portée du travail la méthode de comptage de barvinok implémentée dans latte permet de manipuler des polytopes non parametrés quelconques. de loera et al. ont procédé à lextension de cet algorithme de barvinok en vue de traiter quelques formes de polytopes paramétrés à travers ce quils appellent lalgorithme de barvinok homogénéisé. la portée de notre travail est limitée au calcul des polynômes et des quasi-polynômes dehrhart, aux fonctions génératrices des polytopes non paramétrés à sommets entiers ou rationnels ; aux racines des polynômes dehrhart. le calcul sopère avec latte lorsque la dimension du polytope est supérieure à 3. cette programmation est utilisée comme méthode de comptage des points entiers dans des polytopes convexes non parametrés ou parametrés. bien entendu, il y a aussi dautre programmation qui peut être utilisée comme méthode de comptage à lexemple du polymake. de loera et al. signalent que lutilisation de cet algorithme ne se réduit pas à la méthode de comptage de points entiers. cela va servir également à plusieurs utilisations en mathématiques, telles que la combinatoire, la théorie des représentations, les statistiques, la théorie des nombres et loptimisation discrète. perspectives : dans un contre-exemple de higashitani vis-à-vis de la conjecture de beck et al. sur les parties réelles des racines de polynômes de ehrhart, higashitani a montré pour m = 9, que g 9, d, [d + 1] 2 admet une racine de partie réelle supérieure à d − 1 pour15 ≤ d ≤ 100, et même que pour 17 ≤ d ≤ 100, cette partie réelle maximum est supérieure à d. il a remarqué que lorsque d croît au-delà de 100, la partie réelle maximum est fortement croissante. bien entendu, higashitani a été capable daller bien au délà de d = 100 avec ses programmes numériques. néanmoins, les résultats numériques obtenus demeurent approcher bien que lon puisse augmenter autant que lon veut la variable globale digits de maple pour obtenir plus de précision. mais, jusquà nos jours, la méthode analytique pour prouver le résultat à partir dune certaine valeur de d reste encore à decouvrir. lobtention dun polynôme dehrhart à partir dun polytope convexe à sommets rationnels avec un facteur de dilatation n différent du dénominateur des coordonnées de ses sommets pose un problème ouvert.