Université d’Antananarivo

Résumé

l’étude des opérateurs dans les espaces de banach non archimédiens a rencontré une suite de difficultés, et avant tout avec l’existence des opérateurs ne possédant pas de spectre (sur un corps algébrique fermé) [56,57] et des opérateurs sans sous espaces invariants. le théorème de guelfand mazur n’est pas réalisé. il n’existe pas un analogue précis de l’espace de hilbert. les résultats obtenus actuellement sont les théories des opérateurs à spectre compact [63]. la première partie de la dissertation se concentre sur la théorie spectrale des opérateurs dans un espace de banach non archimédien de dimension finie et surtout sur les études des propriétés similaires des valeurs singulières non archimédiennes, leurs applications directes sur la théorie des tatouages en télécommunications sont bien connues. dans la deuxième partie, chapitre 2 et chapitre 3, sont introduites les notions « triangulaires », les algèbres des suites et des séries formelles triangulaires et leurs conséquences : construction des différents coefficients (§.2.1, chap.2), les suites triangulaires convolutives (§2. chap. 3), les systèmes de fonctions triangulairement décomposables (§.2.2, chap.2, §.3.2. chap.3), la suite triangulaire décomposable des polynômes (§.2.3, chap.2) , les algèbres des séries formelles de ces polynômes (§.3.5, chap.3). ces notions sont les outils nécessaires pour les études des fonctions continues (chap.4), les représentations des mesures non archimédiennes (chap. 5), la résolution des problèmes des moments (chap.6). un des problèmes importants de la théorie non archimédienne est la définition des analogues p-adiques des fonctions de différentes classes. un des premiers résultats dans cette direction est la construction p-adique du prolongement analytique de la fonction z - de riemann, à partir de ses valeurs sur l’ensemble des nombres entiers négatifs [30] une des méthodes de la construction est la transformation intégrale de mellin mazur [27], elle utilise les mesures, construites par des différentes façons, en résolvant les problèmes des moments. dans la troisième partie, chapitre 4, on généralise le théorème de mahler (§2, chap.4), en utilisant les suites de fonctions décomposables sur un groupe compact ultramétrique. on donne des exemples concrets sur le groupe zp et le groupe g(a) (§.4.3, chap.4, §.4.4, chap.4). ces résultats nous permettent de faire les études sur les mesures et l’intégration non archimédiennes. dans la quatrième partie, chapitre 5 et chapitre 6, on entre en détails dans les études des mesures et de la résolution des problèmes de moments. attirons notre attention à la différence entre les problèmes des moments dans l’analyse classique [2, 42] et dans l’analyse non archimédienne. dans le premier cas le critère de la résolution est exprimé sous la forme de l’exigence de la non négativité de certaine fonctionnelle. la relation d’ordre naturelle n’est pas valable dans le corps non archimédiens, ce qui fait qu’il est impossible d’utiliser les techniques correspondantes : théorie des matrices de jacobi, la théorie des polynômes orthogonaux etc.… l’inexistence des analogues adéquats non archimédiens des notions d’espace de hilbert et d’opérateur symétrique rend très difficile l’utilisation de la méthode opérationelle et on recoure à la méthode de formalisation.